Математика в нефтегазовом образовании: Выпуск 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Аналитическая геометрия. Линейная алгебра. Харин В.Т - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГУНиГ им. Губкина | Москва

Составители: 

Рубрика: 

73
Аналогично,
() ()
22
1
ctg , ctg
sin sin
x
xdx
xx
∆
′
=− =−
. (2)
Теорема 2 (о дифференцировании сложной функции). Рассмотрим
сложную функцию h (x) = g (f (x)). Если функция у = f (x) имеет производную в
точке х
0
, а функция z = g (x) имеет производную в точке у
0
= f (x
0
), то h (x)
имеет производную в точке х
0
, причем
() ()()
000
hx
gy f
x
′′′
=
.
Доказательство. Достаточно доказать формулу
( ) () ()() ()
0000
,0
hx x hx g y f x x o x x
′′
+∆ − = ∆ + ∆ ∆ →
.
Заметим для этого, что при
0
x
∆→
( ) () () () () ()
( ) () () () () ()
000
000
,.
,.
yfx x fx fx x x x ox
gy y gy g y y y y o y
αα
ββ
′
∆= +∆ − = ∆+ ∆ ∆ = ∆
′
+∆ − = ∆ + ∆ ∆ = ∆
По определению о(∆у) имеем
() ()
yyy
βγ
∆= ∆∆
, где γ(∆у)=о(1) при ∆у → 0.
Поэтому
( ) () ( ) () () ()
() () () () () ()
()() ()() () () ()
{}
000 00
00 0
00 0 0
.
hx x hx
gy y gy g y y y y
gy f x x x y f x x x
gy fx x gy x y fx x x
γ
αγ α
αγ α
′
+∆ − = +∆ − = ∆ + ∆ ∆ =
′′ ′
=∆+∆+∆∆+∆=


′′ ′ ′
=∆+∆+∆∆+∆


Очевидно, величина в фигурных скобках есть о(∆х), т.к. ∆у → 0 при ∆х → 0 в
силу непрерывности f (x) в точке х
0
. Теорема доказана.
ПРИМЕР 3. Функция f (x) =
x
a
может быть рассмотрена как сложная
функция, составленная из функций у = х lna и
y
ze
=
. Поэтому
(
)
(
)
ln
ln ln
xxay x
ae eaaa
′′
===
. Итак,
(
)
ln , ln
xx xx
aaadaaax
′
==∆
. (3)
В частности, мы снова, как частный случай, получили формулу (8) из
п. 2.1. Видно, что показательная функция с основанием е (экспонента) диффе-
ренцируется значительно проще, чем показательная функция с произвольным
основанием.

Страницы