Составители:
Рубрика:
75
()
0
tg
yx
α
′
=
. Конечно, эта касательная является касательной и к графику
функции
()
xx
y
=
в той же точке
0
M
. Тем самым существует производная
()
0
tg
xy
β
′
=
(если только касательная прямая не горизонтальна). Поскольку,
очевидно,
2
αβπ
+=
, тангенсы углов
α
и
β
, т.е. производные
()
0
y
x
′
и
()
0
x
y
′
являются взаимно обратными числами, что и нужно.
ПРИМЕР 4. Функция
log
a
yx=
−
обратная к функции
y
xa
=
, поэтому
при любом х > 0 имеем
()
(
)
111
log
ln
ln
a
y
y
x
xa
aa
a
′
== =
′
. Итак,
() ()
1
log , log
ln ln
aa
x
xdx
xa xa
∆
′
==
. (4)
В частности,
() ()
1
ln , ln
x
xdx
xx
∆
′
==
. (5)
ПРИМЕР 5. Для обратных тригонометрических функций находим
()
()
22
11 1 1
arccos
sin
cos
1cos 1
x
y
y
y
x
′
==−=− =−
′
−−
. Итак,
()
()
22
1
arccos , arccos , 1
11
x
xdx x
xx
∆
′
=− =− ≤
−−
(6)
Аналогичным же образом получаются формулы
()
()
22
1
arcsin , arcsin , 1
11
x
xdxx
xx
∆
′
==≤
−−
(7)
() ()
22
1
arctg , arctg ,
11
x
xdxx
xx
∆
′
==∈
++
R
. (8)
Таким образом, показано, что любая основная элементарная функция
имеет производную в каждой точке своей области определения. Из теорем
этого раздела вытекает, что все элементарные функции обладают этим же
свойством.
Часто функция у = у(х) определяется с помощью задания переменных х и
у как функций ещё одной переменной t, называемой параметром. Тогда гово-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- …
- следующая ›
- последняя »
