Составители:
Рубрика:
76
рят, что функция у(х) задана параметрически. Точнее, пусть даны две функ-
ции
()
()
xt
y
t
ϕ
ψ
=
=
, (9)
определённые на одном и том же интервале
I ⊂ R
. Пусть, кроме того, функ-
ция х=φ(t) имеет обратную функцию
()
1
tx
ϕ
−
=
, определённую на интервале
J
⊂ R
. Тогда существует сложная функция
() ()
(
)
1
yy
xx
ψϕ
−
==
, (10)
заданная на J. Это и есть функция, заданная параметрическими соотно-
шениями (9).
Говоря на языке механики, если известно, как меняются со временем t де-
картовы координаты
,
x
y
движущейся по плоскости точки (формулы (9)), то
можно найти траекторию её движения (линию, по которой точка движется) в
виде (10).
ПРИМЕР 6.
[]
()
cos
0, .
sin
xt
t
yt
π
=
∈
=
(11)
Функция
cos
xt=
имеет на интервале
[]
0,
π
обратную функцию:
arccos
tx=
,
определённую при
[]
1,1
x
∈−
. Поэтому y оказывается на этом интервале слож-
ной функцией от x, имеющей вид
()
2
sin arccos 1
y
xx
==−
. Легко видеть, что
график этой функции есть верхняя половина окружности единичного радиуса с
центром в начале координат (ибо
22
1, и 0
xy y+= ≥
).
Заметим, что заменив в (11) интервал
[]
0,
π
на, скажем,
3
,
22
ππ
, мы
не получили бы параметрически заданной функции (10), поскольку на таком
интервале функция
cos
xt=
не имеет обратной.
В конкретных случаях выписать параметрически заданную функцию ана-
литически в явном виде (10) бывает трудно или даже невозможно. Тем не ме-
нее, её нужно как-то анализировать, например вычислять её производную. На
помощь приходит следующая
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- …
- следующая ›
- последняя »
