Составители:
Рубрика:
74
x
o
M
o
x
β
α
y
y
o
Теорема 3 (о производной обратной функции). Пусть функция
()
yy
x
=
дифференцируема в точке
0
x
и имеет обратную функцию
()
xx
y
=
в
окрестности точки
()
00
yy
x
=
. Пусть также
()
0
0
yx
′
≠
. Тогда обратная
функция дифференцируема в точке
0
y
, причем
()
()
0
0
1
xy
y
x
′
=
′
.
Доказательство. Пусть ∆у
n
– произвольная бесконечно малая последо-
вательность приращений независимой переменной обратной функции в точке
у
0
. Ей соответствует последовательность приращений значения этой функции
∆х
n
= x(y
0
+ ∆y
n
) – x(y
n
). Она также стремится к нулю при n → ∞ в силу непре-
рывности в у
0
функции, обратной к дифференцируемой функции у = у (х). По-
скольку
()
0
0
yx
′
≠
, то последовательность разностных отношений
n
n
y
x
∆
∆
не мо-
жет иметь нулевые члены при достаточно больших n. Поэтому можно написать
()
0
11
n
n
n
n
x
y
yy
x
x
∆
=→
∆
′
∆
∆
при n → ∞, что и требовалось доказать.
Можно убедиться в справедливости теоремы 3 менее строгим, но более
наглядным путём. На рисунке 1 изображен график функции
()
yy
x
=
. Эта же
кривая является графиком обратной функции
()
xx
y
=
, если считать y незави-
симой переменной, а x
−
функцией. Наличие производной
()
0
y
x
′
означает су-
ществование касательной к графику функции
()
yy
x
=
в точке
0
M
, причём
Рис. 1. К теореме 3.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- …
- следующая ›
- последняя »
