Составители:
Рубрика:
78
Описанный метод называется логарифмическим дифференцированием.
Закончим раздел введением некоторых новых обозначений. Мы знаем,
что если f(x) = x, то
()
1
fx
′
=
, и d f(x) = dx =1·∆x. Таким образом, приращение
∆x независимой переменной совпадает с дифференциалом dx функции f (x) = x.
Поэтому обозначения ∆x и dx рассматриваются как равносильные.
Пусть теперь
()
yy
x
=
– произвольная дифференцируемая функция. По-
скольку dy=y’(x)∆x, можно записать
()
d
y
yx
x
′
=
∆
или
()
d
y
yx
dx
′
=
. Правая часть
последнего равенства очень часто применяется как обозначение производной
(обозначение Лейбница). Если вместо
()
y
x
применяют символ
()
f
x
, то пишут
d
f
dx
вместо
()
f
x
′
.
2.3. Теоремы о конечных приращениях
Так называется группа теорем, связывающих приращение дифференци-
руемой функции на некотором интервале [a,b] со значениями её производной
внутри этого интервала. Эти теоремы служат инструментом для приложений
такого “локального” понятия, как дифференцируемость к исследованию ”гло-
бальных” свойств функции, т.е. особенностей её поведения на всем интервале
[a,b]. Указанные приложения будут рассмотрены в следующих разделах.
Теорема Ролля. (Мишель Ролль, 1652 – 1719). Пусть функция f (x)
удовлетворяет следующим условиям:
а) f (x) непрерывна на интервале [a,b];
б) f (x) дифференцируема на интервале [a,b];
в) f (a) = f (b).
Тогда существует хотя бы одна точка
()
,
cab
∈
такая, что f’(c) = 0.
Доказательство. Из условия а) следует, что f (x) принимает на [a,b]
свои наибольшее и наименьшее значения. Если эти значения принимаются ею
на концах интервала, то в силу условия в) f (x) = const на [a,b], и теорема дока-
зана. Поэтому рассмотрим случай, когда наибольшее значение принимается
функцией f (x) в некоторой точке
()
,
cab
∈
. В силу условия б):
() () ()( ) ( )
f
x
f
c
f
cxc oxc
′
−= −+−
при х → с. Если
()
0
fc
′
≠
, то
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- …
- следующая ›
- последняя »
