Составители:
Рубрика:
79
() () ()( ) ()
11
fx fc f c x c o
′
−= −+
при х → с. Когда значения х близки к с,
выражение в квадратных скобках положительно. Отсюда вытекает, что знак
разности f (x) – f (с) меняется при переходе х через значение с. Следовательно,
f (с) не может быть наибольшим значением функции f (х) на [a,b]. Итак,
()
0
fc
′
=
. Аналогично рассматривается случай, когда внутри [a,b] принимается
наименьшее значение функции f . Теорема доказана.
Геометрическая интерпретация теоремы Ролля. Если график
функции f (x) есть непрерывная кривая, соединяющая точки с абсциссами
,
xaxb
==
и одинаковыми ординатами y (рис. 1), и если в каждой точке гра-
фика существует касательная к нему, то на графике имеется хотя бы одна точка,
в которой касательная параллельна оси Ох.
Рис. 1. Геометрическая интерпретация теоремы Ролля.
Кинематическая интерпретация: уходя в момент времени х = а по
прямолинейной дороге (ось Оу) и желая вернуться в исходный пункт в мо-
мент х = b, следует сделать хотя бы одну остановку в пути.
Следующее утверждение обобщает теорему Ролля.
Теорема Лагранжа (Жозеф Луи Лагранж, 1736 – 1813). Пусть
функция f (x) удовлетворяет условиям пунктов а) и б) предыдущей теоремы.
Тогда найдется хотя бы одна точка
()
,
cab
∈
такая, что
() () ()( )
f
b
f
a
f
cba
′
−= −
(1)
Доказательство. Введем вспомогательную функцию по формуле
F(x) = f (x) + λ(b – a), где константу λ подберём так, чтобы F(x) удовлетворяла
x
b с a
y
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- …
- следующая ›
- последняя »
