Составители:
Рубрика:
81
Тогда существует хотя бы одна точка
()
,
cab
∈
такая, что
() ()
() ()
()
()
f
b
f
a
f
c
g
b
g
a
g
c
′
−
=
′
−
. (2)
Доказательство. Очевидно, что g (b) ≠ g (a) (В противном случае по
теореме Ролля нашлась бы точка
()
,
cab
∈
, для которой g
′
(с) = 0, что противо-
речит условию в)).
Построим функцию F(x) = f (x) + λg (x), которая удовлетворяла бы
условиям теоремы Ролля. Для этого нужно, чтобы f (а) + λ g (а) = f (b) + λ g (b),
т.е.
() ()
() ()
f
b
f
a
g
b
g
a
λ
−
=−
−
В силу теоремы Ролля найдётся точка
()
,
cab
∈
такая, что
() ()
() ()
() ()
()
fb fa
Fc
f
c
g
c
gb ga
−
′′ ′
=−
−
,
что и требовалось.
Одним из следствий теоремы Коши являются так называемые правила
Лопиталя (Гийом Франсуа Антуан де Лопиталь, 1661 – 1704). Первое из них
позволяет во многих случаях вычислять пределы отношений
()
()
f
x
g
x
при х → х
0
в тех случаях, когда f (x) → 0 и g (x) → 0 при х → х
0
, т.е. имеет место неопре-
делённость вида
0
0
. Второе правило применяется для неопределённостей вида
∞
∞
, т.е. при f (x) →
∞
и g (x) →
∞
( х → х
0
).
Первое правило Лопиталя.
а) Предположим, что наряду с функцией
()
()
f
x
g
x
в окрестности точки х
0
существует функция
()
()
f
x
g
x
′
′
, и что её предел при х → х
0
известен. Тогда
()
()
()
()
00
lim lim
xx xx
f
x
f
x
g
x
g
x
→→
′
=
′
. (3)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- …
- следующая ›
- последняя »
