Составители:
Рубрика:
82
Доказательство. Если f (а) = f (а) = 0, то по формуле Коши запишем
для х, близкого к х
0
:
()
()
() ()
() ()
()
()
f
x
f
x
f
a
f
c
g
x
g
x
g
a
g
c
′
−
==
′
−
,
где с лежит между х и х
0
. Ясно, что при х → х
0
имеем с → х
0
, поэтому
()
()
()
()
00
lim lim
xx xx
f
x
f
x
g
x
g
x
→→
′
=
′
, что и требовалось доказать.
Может случиться, что f (x
0
) (или g (x
0
)) не определено. Тогда следует
искусственно доопределить функцию f (x) в точке x
0
, положив f (x
0
) = 0.
Условия применения формулы Коши от этого не нарушаются.
б) Правило Лопиталя (3) остаётся в силе, если отношение
()
()
f
x
g
x
′
′
беско-
нечно велико при х → х
0
. Просто обе части равенства (3) будут при этом озна-
чать ∞ (или + ∞, или – ∞).
Кроме того, правило (3) годится и для вычисления односторонних преде-
лов в точке х
0
.
в) Наконец, правило остаётся в силе для вычисления предела отношения
()
()
f
x
g
x
при х → ∞ (или х → – ∞, или х → + ∞). Это легко проверить, вводя но-
вую переменную
1
zx=
. Тогда
()
()
()
()
0
1
lim lim
1
xz
f
x
f
z
g
x
g
z
→∞ →
=
и функции
()
1
f
z
,
()
1
g
z
удовлетворяют условиям пункта а) при z →0.
Второе правило Лопиталя внешне выглядит точно так же, как и опи-
санное выше (формула (3) и аналогичные формулы для других направлений пе-
рехода к пределу), но применяется для раскрытия неопределённости вида
∞
∞
,
т.е. в случае, когда функции f (x) и g (x) бесконечно велики. Его легко обосно-
вать, заменяя функции f (x) и g (x) функциями
()
1
f
x
и
()
1
g
x
, соответствен-
но, и применяя к последним первое правило Лопиталя.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- …
- следующая ›
- последняя »
