Составители:
Рубрика:
77
Теорема 4 (о производной функции, заданной параметрически) .
Если функции (9) дифференцируемы при некотором t, причем
()
0
t
ϕ
′
≠
, то за-
данная параметрически функция (10) дифференцируема при х = φ(t). Произ-
водная у'(x) вычисляется по формуле
()
()
()
t
yx
t
ψ
ϕ
′
′
=
′
. (12)
Доказательство следует из теорем 2 и 3.
Отметим, что здесь мы встретились со случаем, когда одна и та же пере-
менная (y в данном случае) может рассматриваться либо как функция t, либо
как функция x. В подобных ситуациях, чтобы уточнить по какой именно пере-
менной происходит дифференцирование, вместо штриха (или наряду с ним)
употребляют соответствующий нижний индекс. Например
()
tt
y
t
yy
′′
==
.
ПРИМЕР 7. Чтобы продифференцировать параметрически заданную
функцию примера 6, действуем так:
()
()
()
sin
cos
ctg .
sin
cos
t
t
y
xt
t
t
′
′
==−=−
′
Эта производная существует при всех
()
0,
t
π
∈
, т.е. при всех
()
1,1
x
∈−
. В
граничных точках этих интервалов она обращается в бесконечность (касатель-
ные к графику функции
()
yy
x
=
вертикальны).
Закончив с функциями, заданными параметрически, познакомимся с ещё
одним приёмом дифференцирования. Рассмотрим функцию вида
()
()
gx
yfx
=
, (13)
где f (x) и g (x) дифференцируемы. Чтобы продифференцировать (13), удобно
предварительно прологарифмировать это равенство по основанию е. Получаем
() ()
()
ln ln
ygx fx=
. После этого дифференцирование с использованием тео-
ремы о сложной функции даёт
()
() () ()
()
()
()
()
1
ln
gx
y
x
g
x
f
x
f
x
yx f x
′′ ′
=+
,
откуда
() ()
()
() ()
()
()
()
()
ln
gx
gx
y
x
f
x
g
x
f
x
f
x
fx
′′ ′
=+
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- …
- следующая ›
- последняя »
