Составители:
Рубрика:
85
Таким образом, y’(x) существует и непрерывна при всех х. Аналогично
вычисляя
()
y
x
′′
, находим
()
0, 0
2, 0
x
yx
x
<
′′
=
>
,
а при х = 0 вторая производная не существует, ибо
() () () ()
00
00
lim lim
xx
yx y yx y
xx
→− →+
′′ ′′
−−
≠
.
Итак, в данном примере функция y (x) лишь один раз непрерывно диффе-
ренцируема во всей области определения.
Теорема 1
. Если функции
()
f
x
и
()
g
x
n раз дифференцируемы при
некотором х, то тем же свойством обладают функции
() ()
f
x
g
x
+
и
() ()
f
x
g
x
⋅
, причём
() ()
()
()
()
()
()
() ()
()
()
()
()
()
0
n
nn
n
n
nk k
k
n
k
fx gx f x g x
f
x
g
xC
f
x
g
x
−
=
+=+
=
∑
Последнее соотношение называется формулой Лейбница. (Напомним,
что
()( )
()
1... 1
!
12... ! !
k
n
nn n k
n
C
kknk
−−+
==
⋅⋅ ⋅ −
– биномиальные коэфициенты, и по
определению 0! = 1).
Доказательство первой формулы очевидно. Формула же Лейбница
выводится методом индукции. Для n = 1 она, конечно, верна. Если она верна
для некоторого n, то для n + 1 имеем:
() ()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
() ()
()
()
()
() ()
()
()
1
0
11
0
1
11
1
01
111
01
1
.
n
n
nk k
k
n
k
n
nk k nk k
k
n
k
nn
nk k ni i
ki
nn
ki
n
nnkkn
kk n
nnn n
k
fxgx Cf xg x
C f xg x f xg x
Cf xg x C f xg x
C
f
x
g
xCC
f
x
g
xC
f
x
g
x
+
−
=
−+ − +
=
+
−+ −+
−
==
+−++
−
=
==
=+=
=+=
=++ +
∑
∑
∑∑
∑
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- …
- следующая ›
- последняя »
