Составители:
Рубрика:
86
Поскольку
00 1 1
11 1
,,
nn kk k
nn nn nn n
CC CC CC C
+−
++ +
==+=
, то
() ()
()
()
()
()
()
1
1
1
1
0
n
n
nk k
k
n
k
f
x
g
xC
f
x
g
x
+
+
+−
+
=
=
∑
,
что и требуется доказать.
Заметим, что общая формула для n-ой производной отношения двух
функций оказывается настолько громоздкой, что её практичность полностью
теряется.
Вторым дифференциалом, или дифференциалом второго порядка,
функции у = f (x) называется дифференциал её дифференциала, рассматривае-
мого как функция от х при постоянном приращении dx независимой перемен-
ной:
() ()
()
()
()
()
()
()( )
2
2
d
f
xdd
f
xd
f
xdx
f
xdx dx
f
xdx
′
′′ ′′
== = =
или, окончательно,
() ()( )
2
2
dfx f x dx
′′
=
. (3)
Аналогично определяется дифференциал любого порядка n функции f (x):
() ()
(
)
()
()( )
1
n
n
nn
d
f
xdd
f
x
f
xdx
−
==
. (4)
Последняя формула позволяет использовать для n-ой производной функ-
ции f (x), кроме обозначения
()
()
n
f
x
, ещё и обозначение
()
n
n
d
f
x
dx
(или
n
n
dy
dx
,
если функция обозначается у(х)). Для краткости условливаются не ставить в
скобки dx в знаменателе.
Мы видели ранее, что непрерывную в точке х
0
функцию f (x) можно
локально (в окрестности точки х
0
) аппроксимировать константой, т.е. многочле-
ном нулевой степени:
() ( ) () ( )
00
1,
f
x
f
xo xx
=+ →
(5)
Ошибка такой аппроксимации стремится к нулю при
0
xx→
.
Далее, функцию f (x), дифференцируемую в точке х
0
, можно
аппроксимировать в окрестности этой точки многочленом первой степени:
() () ()( ) ( )( )
000 0 0
,
f
x
f
x
f
xxx oxx x x
′
=+ −+− →
(6)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- …
- следующая ›
- последняя »
