Составители:
Рубрика:
88
() () ()( ) ()( )
()
()( )
()
()( )
2
000 00
00 00
0
1
...
2!
11
!!
n
n
nk
nk
k
Tx fx fx xx f x xx
f x xx f x xx
nk
=
′′′
=+ −+ −+
+−= −
∑
…
(11)
Теперь, в соответствии с условием теоремы, надо доказать, что
() () () ( )
()
()
00
,
n
nn
Rx
f
xTxoxx x x
=− =− →
(12)
Для этого рассмотрим отношение
() ()
()
0
n
n
f
xTx
xx
−
−
. К вычислению его предела
при х → х
0
применим (n – 1) раз правило Лопиталя, учитывая при этом условие
(8):
() ()
()
() ()
()
()
()
()
()
()
00 0
1
1
1
0
00
lim lim ... lim
!
n
n
nn n
nn
xx xx xx
f
xTx
f
xTx
f
xT x
nx x
xx nxx
−
−
−
→→ →
′
′
−− −
===
−
−−
(13)
Поскольку
()
()
0
n
f
x
существует, все производные функции f (x) до по-
рядка n – 1 существуют в некоторой окрестности точки х
0
, и в этой окрестно-
сти писать соотношения (13) можно. Числитель последнего отношения
преобразуем с учетом дифференцируемости его в точке х
0
и условий (8):
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()()()()
11
11
00
000 0 0
nn
nn
nn
n
n
n
fxTxfxTx
f
xT xxxoxxoxx
−−
−−
−= − +
+− −+−=−
при
0
xx→
.
После этого последний предел в (13) оказывается равным нулю, что и
требовалось.
Итак, формула Тейлора (7) доказана. В развёрнутом виде она записыва-
ется так:
() () ()( ) ()( )
()
()()()
(
)
()
2
000 00
00 0 0
1
...
2!
1
,
!
nnn
fx fx f x x x f x x x
fxxx oxx xx
n
′′′
=+ −+ −++
+−+−→
(14)
Важный частный случай получается, если положить х
0
= 0. Тогда
формула Тейлора (14) принимает вид:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- …
- следующая ›
- последняя »
