Составители:
Рубрика:
90
Осталось заменить t на
0
,
xx−
чтобы получить искомое разложение.
Этот пример иллюстрирует выгоду не только от использования формулы
Маклорена, но и от наличия “под рукой” определённого запаса уже известных
разложений для самых “ходовых” функций. Особенно полезны в этом смысле
стандартные разложения (15).
ПРИМЕР 3. Разложить по формуле Маклорена функцию
1 x
e
+
до члена
порядка
3
x
включительно.
Сначала разложим функцию
()
1
ux x
=+
с помощью примера 6:
() ( )
()() ()()()
()
()
12
233
23
3
12 12 12 12 32
11
22 6
1.
2816
x
ux x x x ox
xx x
ox
−−−
=+ =++ + + =
=+ − + +
Теперь используем пример 2:
()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
{}
23 3
2816
1233
23
23 3 23 3
3
23 3 23 3
23 3 3 3 3 33
{1 2 8 1 6
11
2816 2816
2! 3!
2816 }{12816
11
48 8 }12148
26
xx x ox
x
eee exxxox
xx x ox xx x ox
oxxx ox exxx ox
xxox xoxoxex xox
−+ +
+
=⋅ =+−+ + +
−+ + + −+ + +
+−++ =+−+++
+ −++ ++=+++
Окончательно:
()
133
248
x
ee
eexxox
+
=+ + +
.
Вернёмся от примеров к теории и отметим, что если о поведении функ-
ции f (x) в окрестности точки х
0
известно больше, чем это предполагается усло-
виями теоремы 2, то, соответственно, можно получить и больше информации о
поведении остатка R
n
(x). Пусть функция f (x) имеет производные не только до
порядка n, а до порядка n + 1 включительно, причём не только в точке х
0
, но и
в некоторой её окрестности. Тогда остаточный член формулы Тейлора можно
записать в виде
()
()
()
()( )
1
1
0
1
1!
n
n
n
Rx f cxx
n
+
+
=−
+
, (16)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- …
- следующая ›
- последняя »
