Составители:
Рубрика:
91
где х – произвольная точка области определения f (x), лежащая в указанной
окрестности, а с – некоторая точка, расположенная строго между х
0
и х (с
зависит, строго говоря, от х
0
и х).
Эта формула позволяет не только знать, что относительная ошибка
от замены функции её многочленом Тейлора стремится к нулю при х → х
0
, но и
дать числовую оценку этой ошибки в заданной окрестности числа х
0
.
Для доказательства формулы (16) преобразуем отношение
()
()
1
0
n
n
Rx
xx
+
−
, т.е.
() ()
()
1
0
n
n
f
xTx
xx
+
−
−
по формуле Коши несколько раз, используя условия (8):
() ()
()
() () () ()
()( )
() ()
()( )
() () ( ) ( )
()( )( )
() ()
()( )
00
11
111
0000 10
11 0 0
22
1
20
10 00
1
1
1
nn
nn
nnn n
nn
n
n
nn
fx T x fx T x
fx T x f c T c
xx xx x x n c x
fc T c fx T x
fc T c
nncx
ncx xx
+++
−
′
−− −
′
−−
===
−−−−+−
′′
′′
−−−
′′
′′
−
===
+−
+−−−
()
()
()
()
() ( )
0
1...32
n
n
nn n
n
fcT c
nn cx
−
==
+⋅⋅−
…
,
где точка с
1
лежит между х
0
и х, точка с
2
– между х
0
и с
1
, …, точка с
n
– между
х
0
и с
n–1
. Теперь применим формулу Лагранжа на интервале
[]
0
,
n
xc
к функции
() ()
n
f
xTx
−
для преобразования числителя последнего выражения. В резуль-
тате функция
() ()
()
1
0
n
n
f
xTx
xx
+
−
−
примет вид
() ()
()
()
()( )
()( )
()
()
()
1
1
0
1
0
0
1
1! 1!
n
n
nn
n
n
fx T x f cc x
f
c
ncx n
xx
+
+
+
−−
==
+− +
−
,
где с лежит между х
0
и с
n
, т.е. между х
0
и х, что и требовалось.
Итак, мы располагаем теперь выражениями (9) и (16) для остаточного
члена
()
n
Rx
формулы Тейлора. Первое из них называется формой Пеано
(Джузеппе Пеано, 1858-1932), а второе – формой Лагранжа остаточного члена.
Для иллюстрации преимущества формы Лагранжа рассмотрим пример на
применение формулы Тейлора к приближённому вычислению значений функ-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- …
- следующая ›
- последняя »
