Составители:
Рубрика:
92
ции. Пусть требуется составить таблицы значений функций
cos , sin
xx
(или
компьютерную программу, которая вычисляла бы эти значения). Прежде всего,
ясно, что достаточно уметь вычислять указанные значения при
04
x
π
≤≤
: ес-
ли х выходит за пределы этого интервала, можно воспользоваться формулами
приведения. В интервале же
04
x
π
≤≤
будем использовать формулы Макло-
рена из примеров 3 и 4. Каким надо взять n, чтобы остаточный член не превос-
ходил заданной точности вычислений, скажем
4
10
−
? Ответ на этот вопрос даёт
форма Лагранжа (16) остаточного члена. Если f (x) =
cos
x
, то
()
()
k
f
c
при лю-
бом с не превышает по модулю единицы. Поэтому будет верна оценка
()
()
()
22
2
1
4
22!
n
n
Rx
n
π
+
≤
+
.
Требуя, чтобы эта величина не превосходила
4
10
−
, находим методом
перебора (n = 1, 2, 3, …), что достаточно взять n = 3, т.е. использовать прибли-
жённую формулу
24 6
cos 1
224720
xx x
x
≈− + −
.
Совершенно аналогично приходим к приближённой формуле для
sin
x
,
обеспечивающей ту же точность
4
10
−
при всех значениях x из интервала
04
x
π
≤≤
:
35
sin
612
xx
xx
≈− +
.
На рис. 2 показан характер приближения функций
cos
x
,
sin
x
их много-
членами Тейлора в окрестности точки х
0
= 0. Числа на рисунке показывают
степень многочлена, которым приближена соответствующая функция.
Формула Тейлора – “венец” дифференциального исчисления. В ней скон-
центрировано всё, что может сказать это исчисление о функции, имеющей в
некоторой точке х
0
несколько (n) производных. А именно, эта функция ведёт
себя вблизи х
0
как многочлен степени n со всеми вытекающими отсюда
последствиями, как аналитическими, так и вычислительными.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- …
- следующая ›
- последняя »
