Составители:
Рубрика:
89
()
()
()
(
)
()
0
1
0,0
!
n
k
kn
k
fx f x ox x
k
=
=+→
∑
(14)
и называется формулой Маклорена (Колен Маклорен, 1698 – 1746). Она менее
громоздка. Рассмотрим несколько примеров разложения основных элементар-
ных функций по формуле Маклорена. Читатель легко проверит их
справедливость, вычисляя последовательные производные разлагаемых
функций в нуле:
(
)
2
1...
2! !
n
xn
xx
ex ox
n
=+ + + + +
()
()
(
)
246 2
21
cos 1 ... 1
2! 4! 6! 2 !
n
n
n
xxx x
xox
n
+
=− + − + +− +
()
()
(
)
357 21
22
sin ... 1
3! 5! 7! 2 1 !
n
n
n
xxx x
xx ox
n
+
+
=− + − ++− +
+
(15)
() ()
(
)
23
1
ln 1 ... 1
23
n
n
n
xx x
xx ox
n
−
+=− + −+− +
()
()
()( )
(
)
2
11...1
11 ...
2! !
nn
n
xx x xox
n
α
αα αα α
α
−−−+
+=++ ++ +
В случае необходимости использовать общую формулу Тейлора (14) с
0
0
x ≠
можно зачастую упростить выкладки, сводя дело к формуле Маклорена.
Для этого следует ввести новую независимую переменную t = x – x
0
. Тогда раз-
ложение функции
()
f
x
в окрестности точки
0
x
сведётся к разложению функ-
ции
() ( )
0
ft fx t=+
в окрестности точки
0.
t
=
ПРИМЕР 2.
Разложить по формуле Тейлора функцию
cos
x
в окрестно-
сти точки
0
0
x ≠
. Имеем, полагая
0
,
txx=−
[]
()
()
(
)
()
()
(
)
()
()
()
()
000
221
21 22
00
00
23 45
0000
00
22
00
cos cos cos cos sin sin
cos 1 sin 1
2! 2 1!
cos sin cos sin
cos sin ...
2! 3! 4! 5!
cos sin
11
2! 2 1!
kk
nn
kk
kk
kk
nn
nn
xxtxtxt
tt
xotx ot
kk
xxxx
xxt t t t t
xx
tt
nn
+
++
==
+
=+= − =
=−+−−+=
+
=−⋅− + + − −+
+− −−
+
∑∑
(
)
121
.
n
ot
+
+
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- …
- следующая ›
- последняя »
