Составители:
Рубрика:
87
с ошибкой, стремящейся к нулю при
0
xx→
быстрее, чем
0
xx−
.
Формулы (5) и (6) оказываются частными случаями, причём простейши-
ми, следующего общего утверждения:
Теорема 2. Пусть функция f (x) определена в некотором интервале I
числовой оси и имеет в точке
0
xI∈
все производные до порядка n включи-
тельно. Тогда для всех
xI
∈
, достаточно близких к х
0
, имеет место следую-
щая формула Тейлора (Брук Тейлор, 1685 – 1731):
() () ()
,
nn
fx T x R x
=+
(7)
в которой
а) Т
n
(x) есть многочлен степени n, значение которого, так же, как и значения
его производных до порядка n включительно в точке
0
x
, совпадают с соот-
ветствующими значениями функции
()
f
x
, т.е.
() () () ()
()
()
()
()
00 0 0 0 0
,,,
n
n
nn n
Tx fx T x fx T x f x
′
′
== =…
; (8)
б) Функция
()
n
Rx
, называемая n-ым остаточным членом (или n-ым остат-
ком) формулы Тейлора, определяется равенством
() ( )
(
)
()
00
,
n
n
Rx oxx x x
=− →
. (9)
Доказательство. Сначала убедимся, что свойства (8) действительно
определяют, причём однозначно, многочлен степени n. Будем искать его в виде
() ()() ()
2
01 0 2 0 0
...
n
nn
Tx a axx axx axx=+ − + − ++ −
(10)
К такому виду можно привести любой многочлен степени n, записанный в стан-
дартной форме – по степеням х. Для этого следует ввести переменную t = x – x
0
,
подставить в многочлен вместо х сумму х
0
+ t, выполнить положенные возведе-
ния в степень этой суммы и расположить результаты по степеням t.
Полагая в (10) х = х
0
и используя первое условие (8), получаем а
0
= f (x
0
).
Дифференцируя (10), снова полагая х = х
0
и используя второе условие (8), на-
ходим
()
10
a
f
x
′
=
. Продолжая аналогичным образом, после k -го дифференци-
рования и подстановки х = х
0
в его результат, имеем
()
()
0
1
!
k
k
a
f
x
k
=
. Закан-
чивается эта процедура после n - го дифференцирования.
В результате многочлен Т
n
(x) определяется однозначно и имеет вид:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- …
- следующая ›
- последняя »
