Основы числового программного управления. Хитров А.И - 41 стр.

                                      ⎞ T ⋅ e (e − 1) − e ⋅ e ⋅ T
                                             TS TS        TS TS
                d ⎛ 1
                   ⎜                  ⎟=                          =
                dS ⎝ 1 − e −TS        ⎠          (e − 1)
                                                   TS    2



                =
                             (
                    T ⋅ eTS eTS − 1 − eTS               )=−       T ⋅ eTS
                            (e   TS
                                       )
                                      −1
                                           2
                                                                 (e   TS
                                                                            −1  )2


     Тогда
                                  ⎡ T ⋅ e TS ⎤                                      TZ
                       F (Z ) = − ⎢−          2 ⎥
                                                                            =
                                  ⎣⎢ e TS
                                          − 1  (⎦⎥       )       S =0
                                                                 e TS = Z
                                                                                 ( Z − 1) 2

     3. Найдем Z-преобразование функции, имеющую следующую
        передаточную функцию:
                                                             α
                                           F (S ) =
                                 S (S + α )              2


Применим метод разложения функции на простые дроби:
                    1        S        1      1
     т.е. F ( S ) =    −            =   −
                    S 2 S 2 (S + α ) S 2 S (S + α )
и используя свойства линейности Z-преобразования
         F(Z) = F1(Z) – F2(Z), находим F2(Z) и окончательный результат
                      ⎧ 1 ⎫ k N (S n )                      1
          F2 (Z ) = Z ⎨             ⎬ ∑
                                     =              ⋅              ,
                      ⎩ S ( S + α ) ⎭ n=1 D′( S n )       Sn ⋅T
                                                      1− e ⋅ Z  −1

     где D(S) = S2 + Sα; D΄(S) = 2S + α; S1 = 0; S2 = -α
                            1                  1                  1          1
               F2 ( Z ) =         ⋅                          +      ⋅                   =
                            α 1 − e 0⋅T ⋅ Z −1                   − α 1 − e −α ⋅T ⋅ Z −1
                   1  Z    1    Z
               =       ⋅  − ⋅            ;
                   α Z − 1 α Z − e −α ⋅T
                 TZ     1  Z   1     Z
    F (Z ) =           − ⋅    + ⋅             =
               (Z −1) α (Z −1) α (Z − e−α⋅T )
                     2


        TZ     Z ⎛ 1       1 ⎞       TZ     Z    (1 − e−αT )
    =         − ⋅⎜     −         ⎟=        − ⋅                  .
      (Z −1) 2 α ⎝ Z −1 Z − e−αT ⎠ (Z −1) 2 α (Z −1)(Z − e−αT )




                                                   41