Основы числового программного управления. Хитров А.И. - 77 стр.

 Δ f [ n ] = Δ f [ n+1] - Δ f [ n ] = f [ n +2 ]- f [ n+1 ]- f [n+1] + f [ n ] =
= f [ n + 2 ] - 2 * f [ n+1 ] + f [n ] - прямая разность 2 порядка,

   2
 ∇ f[ n ] = ∇ f [ n-1 ] - ∇ f [ n ] = f [ n-2 ]- f [ n-1] - f [ n-1 ]+ f [n ] =
= f [ n-2] - 2 * f [ n-1 ] + f [ n ] - обратная разность 2 порядка.

Разности более высоких порядков получаются аналогично.

Пример. Записать разности 1 и 2 порядка для функции
                              .
Решетчатая функция линейной непрерывной функции:
f [ n] = a × n × Tk = a1 × n,
 где a1 = a * T k.
Разности первого порядка:
Δf [ n] = f [ n + 1] − f [ n] = a × ( n + 1) − a × n = a
∇ f [ n] = f [ n − 1] − f [ n] = a × ( n − 1) − a × n = − a
Разности второго порядка:
     Δ2 f [ n] = a × ( n + 2 ) − 2 × a × ( n + 1) + a × n = 0
     ∇ 2 f [ n] = a × ( n − 2 ) − 2 × a × ( n − 1) + a × n = 0

Сумма решетчатых функций играет роль аналогичную роли интеграла
в непрерывном анализе.

Линейное дифференциальное уравнение, как известно, имеет вид:
f ( t ) = bm × d m y ( t ) / dt + ....+ b1 × dy ( t ) / dt + b0 × y ( t )
где b i - коэффициенты дифференциального уравнения.

Линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами
можно представить в следующем виде:
f [ n] = bm × Δm y[ n] + bm − 1 × Δm − 1 y[ n]+ ...+ b1 × Δy[ n] + b0 × y[ n]
Порядок высшей разности определяет порядок разностного уравнения.
Заменяя разности решетчатых функций          их выражениями в
соответствии с вышеприведенными правилами можно получить более
удобную форму записи:
f [ n] = am × y[ n + m] + am − 1 × y[ n + m − 1]+ ...+ a 0 × y[ n],

которая позволяет по заданным значениям y[0],y[1],....y[n+m-1]