Основы числового программного управления. Хитров А.И. - 80 стр.

Y [ n] = Y [ n − 1] × a + x[ n − 1] × K × (1 − a ).
Последнее выражение и будет разностным уравнением для
инерционного звена. Такое решение будет математически точным, т.е.
значения, полученные с помощью уравнения, совпадают с решением
уравнения в дискретные моменты времени, кратные периоду
квантования.

                         5.2.Нахождение Z-преобразований.

         Процедура нахождения Z -преобразований непрерывной
функции включает следующие 3 этапа :
-определение решетчатой функции           f * ( t ) как выходного сигнала
идеального квантователя для входной функции f (t) ,
-определение дискретного преобразования Лапласа f * ( t ) ,
-замена exp(Tk × s ) на z и получение выражения в виде бесконечного
ряда.
 Однако неудобство полученного выражения очевидно.
         Альтернативным выражением для нахождения Z -
преобразования функции является выражение полученное при
использовании теоремы вычетов.
         Если известно преобразование Лапласа F(S), заданное в виде
F ( s ) = N ( s ) / D( s ) и F(S) имеет конечное число простых полюсов
k, то Z- преобразование функции находится в виде:
             k N ( sk )           1
F ( z) =     ∑
                  |
                             ×                                  (*)
                      1− exp( sk × T ) × z −1
            n =1 D ( s k )

                                    d D( s )
где Sk - простой полюс, D| ( sk ) =                       s = sk .
                                      ds
 Если F(S) имеет кратные полюсы S1,S2, .. S k c кратностью m1...m k,
то Z- преобразование находится с использованием соотношения:
                            m −i
             k mn ( − 1) n                       d mn − i
                                                             1
F ( z) =     ∑ ∑                        × Kni × ( m − i ×               )
            n=1 i = 1 ( m n − i ) !              ds n 1 − exp( −T × s )
при подстановке z=exp(T*S), где K ni определяется по формуле:

Kni = 1 / ( i − 1)!{d i −1 / ds i −1[( s − sn) mn × F ( s )]}
  при подстановке S=Sn после проведения операции