Основы числового программного управления. Хитров А.И. - 89 стр.

Целесообразно от Z -преобразования перейти к W- преобразованию,
используя соотношения:
            w = ( z − 1) / ( z + 1)
            z = (1 + w ) / (1 − w ).
Эта операция отображает внутреннюю часть круга единичного радиуса
на левую половину W - плоскости, что позволяет использовать
известные алгебраические критерии устойчивости для
характеристического уравнения:
1 + W {(1 + w ) / (1 − w )} = 0.
При переходе к частотной передаточной функции W (exp( j × w × t ) )
или W ( j × wf ) подстановкой w = j × wf × T / 2 могут использоваться
частотные критерии устойчивости ( wf - псевдочастота).


Применение критерия Гурвица для анализа устойчивости.

Характеристическое уравнение импульсной системы имеет вид:
a( 0) × z n + a(1) × z n−1+ ...+ a ( n − 1) × z + a ( n) = 0.
C помощью замены переменной z = ( w + 1) / ( w − 1) получаем новое
уравнение:
            A( 0) × w n + A(1) × w n−1+ ...+ A( n) = 0.
 Для полученного характеристического уравнения можно применять
критерий Гурвица, который устанавливает устойчивость системы по
анализу неотрицательности коэффициентов характеристического
уравнения и всех диагональных миноров матрицы Гурвица.

Пример 1. Передаточная функция разомкнутой импульсной системы
имеет вид:
        W ( z ) = K × (1 − a ) / ( z − a ), a = exp( −Tk / T ) .
Определить при каких K замкнутая система будет устойчивой?

Характеристическое уравнение имеет вид:
1 + W ( z ) = z − a + K × (1 − a ) = 0,
после подстановки z = ( w + 1) / ( w − 1) получим уравнение вида:
w × (1 + a − K + K × a ) + (1 − a + K − K × a ) = 0.
Из условия неотрицательности коэффициентов уравнения легко найти,