Сопротивление материалов. Часть I. Хохлов В.А - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

70
Из уравнения (6.1) получим
ττ.
x
yyx
=
−
(6.4)
Уравнение (6.4) называется законом парности касательных напря-
жений. Оно выражает тот факт, что касательные напряжения на двух
взаимно перпендикулярных площадках равны по абсолютной величине
и противоположны по знаку. Из уравнений (6.2), (6.3), (6.4), с учетом
того, что
22 22
sin2α
sin α cos α , sin α , cosα ;
2
sin α cos α 1, cos α sin α cos 2α,
dx dy
ds ds
===
+= −=
получим
22
α
σσcos ασsin ατ sin2α
xyxy
=+−
; (6.5)
α
σσ
τ sin2ατ cos2α
2
xy
xy
−
=+
. (6.6)
Определим нормальные напряжения на площадке, перпендикуляр-
ной к
cb (см. рис. 6.3), подставив в формулу (6.5) угол
1
αα90=+
o
:
()
(
)
(
)
o
22
α+90
σσcos α 90 σ sin α 90 τ sin2 α 90
xyxy
=+++− +
oo o
. (6.7)
Сложив левые и правые части уравнений (6.5), (6.7), получим
o
α
α+90
σ +σσσ
xy
=
+
, (6.8)
т. е. сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикуляр-
ным площадкам есть величина постоянная. Следовательно, если на од-
ной из таких площадок нормальное напряжение максимально, то на
другой – минимально. Касательные напряжения на этих площадках
должны быть равны нулю, а сами площадки и нормальные напряжения
называются главными. Докажем это.
Положение главных
площадок определяется углом
0
α , который
найдем, приравняв в уравнении (6.6) касательные напряжения на пло-
щадке α нулю. Тогда
00
σσ
sin2ατcos2α 0,
2
xy
xy
−
+
=
откуда
0
2
tg2α .
σσ
xy
τ
=
−
(6.9)

Страницы