Сопротивление материалов. Часть I. Хохлов В.А - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

71
Этому тангенсу соответствуют два угла и, следовательно, – две
площадки, расположенные под углом 90° друг к другу. Отсюда следует,
что главные площадки взаимно перпендикулярны. Возьмем первую
производную напряжений
α
σ по α из формулы (6.5):
α
α
σ
σ 2sinα cosασ2sinα cosατ2cos2α
σσ
sin2ατ2cos2α 0.
2
xyxy
yx
xy
∂
=− + − =
∂
−
=+ − =
Это решение показывает, что главные напряжения экстремальны.
Зная значение угла
0
α , найдем главные напряжения. Используем
для этого тригонометрические зависимости
()
2
00
1
cos α 1cos2α ,
2
=+
()
2
00
1
sin α 1cos2α
2
=−
;
00
1
cos2α 1tg2α ,
2
=± +
0
2τ
tg2α .
σσ
xy
x
x
=−
−
В результате получим
()
2
max 2
min 1,2
σσ
1
σσ σσ4τ .
22
xy
x
yxy
+
== ± − + (6.10)
В полученном уравнении знак «плюс» перед радикалом соответствует
напряжению
max 1
σσ,=
знак «минус» – напряжению
min 2
σσ.=
Выразим напряжения
α
σ и
α
τ через главные напряжения. Для это-
го, учитывая, что на главных площадках касательные напряжения равны
нулю, и заменив в уравнениях (6.5) и (6.6) σ
x
на
1
σ , σ
y
на
2
σ (сами
площадки ab и ac считаем главными), получим
22
α 12
σσcos ασsin α;=+
(6.11)
12
α
σσ
τ sinα.
2
−
= (6.12)
Найдем экстремальные касательные напряжения. Положение пло-
щадок с
max
min
τ определяется углом
1
α
, полученным дифференцировани-
ем уравнения (6.6) по α :
()
α
11
τ
σσcos2α 2τ sin2α 0,
α
xy xy
∂
=−⋅ − =
∂
отсюда
1
σσ
tg2α .
2τ
xy
xy
−
=±
(6.13)

Страницы