Сопротивление материалов. Часть I. Хохлов В.А - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

77
6.6. Деформации в общем случае напряженного состояния
Линейные деформации. Обобщенный закон Гука
Выделим в окрестности точки элементар-
ный параллелепипед с главными площадками
(рис. 6.8). Определим деформацию его граней
в направлении напряжения
1
σ . Она будет скла-
дываться из деформации продольной
11
ε от
1
σ и
поперечных деформаций
12
ε
от
2
σ
и
13
ε
от
3
σ
,
т. е.
1111213
ε =ε +ε +ε . Здесь первый индекс обо-
значает направление деформации, а второй ин-
декс
− силу, вызвавшую ее.
Выразим деформации в левой части уравне-
ния через напряжения по формулам (2.7) и (2.10):
1
11
σ
ε ,
Е
=
2
12
σ
ε µ,
Е
=−
3
13
σ
ε µ.
Е
=−
Аналогично можно определить и деформации
2
ε и
3
ε в направле-
нии напряжений
2
σ
и
3
σ
. Окончательно получим:
()
1123
1
εσµ σσ
Е
⎡
⎤
=−+
⎣
⎦
;
()
2212
1
εσµ σσ
Е
=−+
⎡
⎤
⎣
⎦
; (6.26)
()
3312
1
εσµ σσ
Е
=−+
⎡
⎤
⎣
⎦
.
Подобным же образом можно получить выражения для деформа-
ций для случая, когда грани параллелепипеда не совпадают с главными
площадками. В этом случае касательные напряжения на площадках не
вызывают удлинение ребер между гранями. Тогда формулы (6.26) мож-
но переписать в другом виде:
()
1
ε σ µ σσ
х
х
у
z
⎡
⎤
=−+
⎣
⎦
;
()
1
ε σ µ σσ
yy
xz
⎡
⎤
=−+
⎣
⎦
. (6.27)
Уравнения (6.26) и (6.27) называются
обобщенным законом Гука.
Принимая два из трех нормальных напряжений равными нулю, получим
закон Гука для линейного напряженного состояния, рассмотренный в гл. 2
(см. соотношение 2.8).
Рис. 6.8

Страницы