Составители:
Рубрика:
Задача 1.5. Доказать формулы (1.4), используя определение (1.6)
и формулы
r
2
= x
2
+ y
2
+ z
2
, r
2
ik
= (x
k
−x
i
)
2
+ (y
k
−y
i
)
2
+ (z
k
−z
i
)
2
.
Задача 1.6. Доказать формулы (1.5), используя правило диффе-
ренцирования сложной функции и формулы (1.4).
Задача 1.7. Функция V
i
, как и всякий потенциал, определяется
уравнениями (1.3) с точностью до постоянного слагаемого. Пока-
жите, что функция (1.8) равна работе против сил тяготения, необ-
ходимой для удаления точки Q
i
единичной массы на бесконечность
при неподвижных остальных точках Q
k
.
Задача 1.8. Функция U также определяется с точностью до ад-
дитивной постоянной. Покажите, что функция (1.12) равна работе
против сил тяготения, необходимой для полного “растаскивания”
системы Q, когда в пределе все взаимные расстояния r
ik
оказыва-
ются бесконечными.
Задача 1.9. Доказать равенство средней и правой части (1.12).
Задача 1.10. Доказать равенство левой и правой части (1.12).
Указание. Вычислите ∂U/∂x
j
и сравните с формулой (1.2), в
которой индекс i замените на j.
Задача 1.11. Доказать аналитичность функции (1.10) и вектор-
функции (1.9) в каждой точке R
3
за исключением точек Q
k
.
Задача 1.12. Пусть p — расстояние от Q до произвольной точки
Q
0
∈ R
3
, не совпадающей ни с одной из точек Q
k
. Найти радиус
сходимости p
0
ряда Маклорена функций (1.9), (1.10) по степеням p.
Указание. Представьте s
2
k
в форме
s
2
k
= p
2
−2s
0k
p cos H + s
2
0k
,
где s
0k
— расстояние от Q
0
до Q
k
; H — угол между векторами
Q
0
Q и Q
0
Q
k
; найдите корни s
2
k
, считая эту величину функцией
комплексной переменной p и вещественных параметров H, s
0k
.
Ответ:
p
0
= min
k∈N
s
0k
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
