Притяжение небесных тел. Холшевников К.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Здесь Q(x, y, z) — произвольная точка R
3
; Q
0
(x
0
, y
0
, z
0
) — перемен-
ная точка, при интегрировании пробегающая тело T ; dm
0
— элемент
массы; r = OQ; r
0
= OQ
0
. Для приложений достаточно считать
dm
0
= %(Q
0
)dτ
0
, где % — плотность T в точке Q
0
, dτ
0
— элемент
объема. Плотность полагаем интегрируемой и кусочно-гладкой, а
тело T — компактным множеством в R
3
.
Q Q
T TO O
r r
Q
k
∆T
k
r
k
s
k
Q
0
r −r
0
r
0
Рис. 3. К определению потенциала протяженного тела.
Под знаком интеграла (2.2) стоит вещественно-аналитическая
функция от Q:
[(x −x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
+ (z −z
0
)
2
]
−σ
, σ = 1/2.
Под знаком интеграла (2.1) стоит та же функция при σ = 3/2,
помноженная на вектор с компонентами (x −x
0
, y −y
0
, z −z
0
). Рас-
сматриваемые как функции трех переменных (x, y, z) они имеют
особенность только при Q = Q
0
.
Теорема 1
В каждой из областей своего определения внешний потенциал V
является аналитической функцией от (x, y, z). Ее можно диффе-
ренцировать под знаком интеграла (2.2) сколько угодно раз.
Напомним — аналитической функцией называется функция, ко-
торая в окрестности каждой точки может быть представлена сте-
пенным рядом.
Внешним потенциалом принято называть сужение функции V
на открытое множество T
0
= R
3
\T . Оговорка об областях опре-
деления вызвана тем, что T
0
может не быть связным. В разных
областях T
00
⊂ T
0
потенциал могут представлять разные аналити-
ческие функции, не продолжающиеся одна в другую, как показы-
вает задача 2.14.
15

Страницы