Притяжение небесных тел. Холшевников К.В - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

где R — расстояние от точки Q до прямой. При a → ∞ очевидно
V → ∞: для удаления точки от прямой на бесконечное расстоя-
ние требуется бесконечная работа. Иными словами, вторая косми-
ческая скорость бесконечна. Это не препятствует существованию
потенциала. Достаточно рассмотреть разность V (R, z) − V (R
0
, z
0
)
и перейти к пределу при a → ∞:
lim
a→∞
[V (R, z) −V (R
0
, z
0
)] = G% ln
R
2
0
R
2
.
Таким образом, для потенциала бесконечной прямой с постоянной
линейной плотностью % получаем
V (R) = −G% ln
R
2
R
2
0
= −2G% ln R + C. (2.4)
Чтобы не запутаться в физических размерностях, предпочти-
тельнее выбрать в качестве несущественной постоянной R
0
, а не
C. Если пользоваться правой частью (2.4) при C = 0, то значение
V будет аддитивно зависеть от выбора единицы длины. Это до-
пустимо, но неудобно. При переходе к градиенту зависимость от
единицы измерения исчезает.
Из равенства (2.4) стандартным путем выводится потенциал
бесконечного цилиндра с постоянной вдоль образующих объемной
плотностью %(x, y):
V (Q) = −G
Z
T
∗
%(x
0
, y
0
) ln
(x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
R
2
0
dx
0
dy
0
, (2.5)
где T
∗
— сечение цилиндра плоскостью z = 0.
Другой важный случай — притягивающая масса распределена
с постоянной поверхностной плотностью % на плоскости z = z
0
.
Рассмотрим сначала вызванное притяжением плоскости ускорение
w. По соображениям симметрии w
x
= w
y
= 0, а для вертикального
ускорения
w
z
= −G%
Z
z − z
0
[x
2
+ y
2
+ (z − z
0
)
2
]
3/2
dxdy =−2πG% sign(z−z
0
), (2.6)
где интегрирование распространяется на всю плоскость. Сила тя-
готения не зависит от расстояния до плоскости! Такому ускоре-
нию w с точностью до несущественной постоянной соответствует
потенциал
V (z) = −2πG%|z − z
0
|. (2.7)
Замечание 1. Бесконечная плоскость создает однородное по
обе стороны от себя гравитационное поле. Притяжение конечного
18

Страницы