Составители:
Рубрика:
2.3 Самогравитация протяженного тела
Правую часть формулы (1.12) можно считать римановой сум-
мой для гравитационной потенциальной энергии (со знаком минус)
протяженного тела. Точное выражение дается формулой
U =
G
2
Z
T ×T
dm dm
0
|r −r
0
|
. (2.10)
Важные сведения о функции U приводятся в книге (Кондратьев,
2003), причем существенная их часть получена самим автором. Ве-
личина U используется в теории фигур равновесия, при изучении
приливов, в звездной динамике, но значительно реже, чем потен-
циал V . Ниже мы будем заниматься только потенциалом V .
Задачи к главе 2
Задача 2.1. Дан однородный материальный отрезок массой M ,
расположенный на оси z c координатами концов a и b, a < b. Найти
его потенциал вне оси z.
Ответ:
V (x, y, z) =
GMk
b −a
ln
k(b − z) +
p
x
2
+ y
2
+ (b − z)
2
k(a − z) +
p
x
2
+ y
2
+ (a −z)
2
, x
2
+ y
2
> 0.
Проверьте, что значения V при k = 1 и k = −1 совпадают.
При k = 1 найденное выражение дает потенциал и на оси z для
z < a; при k = −1 — на оси z при z > b.
Задача 2.2. Найти потенциал отрезка задачи 2.1 на оси z при z > b
и z < a (прямым вычислением и предельным переходом).
Ответ:
V (0, 0, z) =
GM
b − a
ln
z − a
z − b
, z > b,
V (0, 0, z) =
GM
b − a
ln
b − z
a − z
, z < a.
Задача 2.3. Найти асимптотику потенциала задачи 2.1 при фик-
сированном z, a < z < b, и малом x
2
+ y
2
.
20
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- …
- следующая ›
- последняя »
