Притяжение небесных тел. Холшевников К.В - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Остается воспользоваться задачей 2.5.
Ответ:
V =
GM
(a
2
−a
1
)(b
2
−b
1
)
2
X
i=1
2
X
k=1
(−1)
i+k
V
ik
,
V
ik
= (b
k
−y) ln [a
i
−x + σ
ik
] + (a
i
−x) ln [b
k
−y + σ
ik
] −
−|z|arcsin
(a
i
−x)
2
+ z
2
+ (a
i
− x)σ
ik
(a
i
−x + σ
ik
)
p
(a
i
−x)
2
+ z
2
,
где σ
ik
=
p
(a
i
−x)
2
+ (b
k
−y)
2
+ z
2
.
Задача 2.8. Найти асимптотику потенциала задачи 2.7 при фик-
сированном y, b
1
< y < b
2
, z = 0 и x = a
2
+ s при малом s.
Указание. К сингулярности может привести лишь слагае-
мое V
21
.
Ответ:
V =
2GM
(a
2
−a
1
)(b
2
−b
1
)
s ln |s|+
˜
V ,
причем градиент
˜
V ограничен.
Задача 2.9. Найти асимптотику потенциала задачи 2.7 при z = 0,
x = a
1
+ ξ, y = b
1
+ η при малых ξ, η.
Указание. К сингулярности может привести лишь слагае-
мое V
11
.
Ответ:
V = −
GM
(a
2
−a
1
)(b
2
−b
1
)
[ξ ln(s − η) + η ln(s − ξ)] +
˜
V ,
где s =
p
ξ
2
+ η
2
. Градиент
˜
V ограничен.
Задача 2.10. Дана однородная сфера массой M и радиусом R с
центром в O. Найти ее потенциал.
Указание. По симметрии можно считать Q = (0, 0, r). Переходя
к сферическим координатам, получаем
V =
GM
4π
π
Z
0
dθ
2π
Z
0
sin θdλ
√
r
2
+ R
2
−2rR cos θ
.
22

Страницы