Притяжение небесных тел. Холшевников К.В - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Задача 2.14. Тело задачи 2.11 имеет полость r < R
0
, т. е. %(r) = 0
при 0 6 r < R
0
. Найти внешний потенциал и его градиент, считая
0 < R
0
< R.
Ответ:
V (r) =
(
A при r 6 R
0
,
GM/r при r > R,
∂V
∂r
=
(
0 при r 6 R
0
,
−GM/r
2
при r > R,
где A = 4πG
R
R
R
0
%(a)a da = const.
Задача 2.15. Дана однородная материальная окружность массой
M, радиусом a в плоскости x, y с центром в O. Найти ее потенциал.
Ответ:
V (x, y, z) =
2GM
π
r
2
ξ
K
2aR
ξ
,
где R =
p
x
2
+ y
2
, ξ = a
2
+ R
2
+ z
2
+
p
(a
2
+ R
2
+ z
2
)
2
−4a
2
R
2
,
K — полный эллиптический интеграл первого рода.
Задача 2.16. В условиях задачи 2.15 доказать неравенства ξ >
2a
2
, ξ > 2R
2
, 2aR/ξ 6 1. Где достигаются равенства?
Задача 2.17. В условиях задачи 2.15 найти потенциал на оси z.
Ответ:
V (0, 0, z) =
GM
√
a
2
+ z
2
.
Задача 2.18. То же — для однородного кольца a
2
6 x
2
+ y
2
6 b
2
,
z = 0. Считать 0 6 a < b.
Ответ:
V (0, 0, z) =
2GM
b
2
− a
2
p
b
2
+ z
2
−
p
a
2
+ z
2
.
Задача 2.19. То же — для однородного диска (кольца задачи 2.18
при a = 0, b = R).
24

Страницы