Притяжение небесных тел. Холшевников К.В - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Ответ:
V (0, 0, z) =
3GM
2
−
z
a
2
−c
2
+
a
2
−c
2
+ z
2
2(a
2
−c
2
)
3/2
arcsin
a
2
−c
2
+ cz
a
√
a
2
−c
2
+ z
2
+ arcsin
a
2
−c
2
−cz
a
√
a
2
−c
2
+ z
2

=
3GM
2
(
−
z
a
2
−c
2
+
a
2
−c
2
+ z
2
(a
2
−c
2
)
3/2
arctg
√
a
2
−c
2
z
)
.
Задача 2.23. То же — для однородного вытянутого эллипсоида
вращения (0 < a < c) для z > c.
Ответ:
V (0, 0, z) =
3GM
2
(
z
c
2
−a
2
+
a
2
−c
2
+ z
2
2(c
2
−a
2
)
3/2
ln
z −
√
c
2
− a
2
z +
√
c
2
− a
2
)
.
Задача 2.24. Однородное тело вращения T задается в сфериче-
ских координатах неравенствами
r
1
6 r 6 r
2
, β
1
6 θ 6 β
2
при 0 6 r
1
< r
2
, 0 6 β
1
< β
2
6 π. Нарисовать сечение T плоскостью
xz, само тело T , определить его топологический тип и найти массу.
Указание. При определении топологического типа сначала рас-
смотреть случай 0 < r
1
, 0 < β
1
, β
2
< π, а затем случаи равенства в
одном, двух или трех из последних соотношений.
Ответ (частичный):
M =
2π%
3
(r
3
2
−r
3
1
)(cos β
1
−cos β
2
).
Задача 2.25. Найти потенциал тела T задачи 2.24 на оси z.
Указание. Вычисляя тройной интеграл (2.2) в сферических ко-
ординатах, получаем
V =
2πG%
z
2
X
k=1
(−1)
k
r
2
Z
r
1
r
p
r
2
+ z
2
−2zr cos β
k
dr.
Остается воспользоваться задачей 2.6.
Ответ:
V (0, 0, z) =
πG%
3z
2
X
i,k=1
(−1)
i+k
V
ik
(z),
26

Страницы