Притяжение небесных тел. Холшевников К.В - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

где
V
ik
= 2R
3
ik
+3z cos β
k
[(r
i
−z cos β
k
)R
ik
+z
2
sin
2
β
k
ln(r
i
−z cos β
k
+R
ik
)]
при R
ik
(z) =
p
r
2
i
−2zr
i
cos β
k
+ z
2
.
Задача 2.26. Вывести результат задачи 2.21 из результата задачи
2.25.
Задача 2.27. Получить асимптотику потенциала задачи 2.25 на
оси z при малых отрицательных z для r
1
= 0, r
2
= R, β
1
= 0,
β
2
= β, 0 < β < π/2.
Замечание. Малые отрицательные z отвечают внешнему потен-
циалу в окрестности конической точки. К сингулярности приводит
лишь слагаемое V
12
.
Ответ:
V (0, 0, z) = −Az
2
ln(−z) +
˜
V ,
где A = πG% cos β sin
2
β, тогда как
˜
V регулярно в окрестности
z = 0.
Задача 2.28. Вычислить интеграл (2.6) переходом к полярным
координатам.
Задача 2.29. Обозначим через X, Y , Z декартовы координаты;
через P
z
— плоскость Z = z; через m
1
(z) — массу цилиндра с па-
раллельными оси Z образующими, единичной площади сечения,
расположенного ниже плоскости P
z
; через m
2
(z) — массу анало-
гичного цилиндра, расположенного выше этой плоскости. Дока-
зать, что представление (2.9) можно записать в виде
w
z
= 2πG[m
2
(z) − m
1
(z)].
Задача 2.30. Вывести формулы
1 − zx
1 − 2zx + z
2
=
∞
X
n=0
T
n
(x)z
n
,
x − z
1 − 2zx + z
2
=
∞
X
n=1
T
n
(x)z
n−1
,
ln(1 − 2zx + z
2
) = −
∞
X
n=1
2
n
T
n
(x)z
n
,
27

Страницы