Составители:
Рубрика:
Глава 3
Уравнения Лапласа и Пуассона
Ключевую роль в теории гравитации играет линейный диффе-
ренциальный оператор Лапласа (лапласиан)
∆ =
∂
2
∂x
2
+
∂
2
∂y
2
+
∂
2
∂z
2
, (3.1)
инвариантный относительно сдвигов, вращений и отражений в R
3
(см. задачи 3.1—3.4). Функции, удовлетворяющие в некоторой об-
ласти уравнению Лапласа
∆f(x, y, z) = 0, (3.2)
называются гармоническими в этой области.
Теорема 2
Внешний потенциал V — гармоническая функция.
Докажем теорему сначала для потенциала одной материаль-
ной точки Q
0
массой m
0
. В силу инвариантности ∆ относительно
сдвигов можно поместить Q
0
в начало координат, по однородности
уравнения (3.2) можно считать Gm
0
= 1. Тогда согласно выра-
жению (1.10) V = r
−1
. Прямые вычисления (см. формулы (1.5))
показывают, что вне начала координат
∂V
∂x
= −
x
r
3
,
∂
2
V
∂x
2
=
3x
2
−r
2
r
5
.
Добавляя аналогичные выражения для вторых производных по y
и z, приходим к искомому соотношению
∆V = 0, (3.3)
выполняющемуся вне Q
0
.
29
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- …
- следующая ›
- последняя »
