Составители:
Рубрика:
и способах действительного нахождения решений подобных задач
математической физики подробно рассматриваются в многочислен-
ных руководствах, например, (Антонов и др., 1988), (Владимиров,
2003), (Гюнтер, 1953), (Ландкоф, 1966), (Михлин, 2002), (Сретен-
ский, 1946), (Уермер, 1980), (Poincar´e, 1899).
Оба подхода равноправны.
Задачи к главе 3
Задача 3.1. Доказать линейность оператора Лапласа:
∆(Cf) = C∆f, ∆(f
1
+ f
2
) = ∆f
1
+ ∆f
2
.
Задача 3.2. Доказать инвариантность оператора Лапласа относи-
тельно сдвигов. Именно, пусть
r = a + r
0
, ∆
0
= ∂
2
/∂x
0
2
+ ∂
2
/∂y
0
2
+ ∂
2
/∂z
0
2
.
Тогда
∆f(r) = ∆
0
f(a + r
0
),
что обычно записывают в виде ∆ = ∆
0
.
Задача 3.3. Доказать, что линейная подстановка r
0
= Ar преоб-
разует лапласиан по закону
∆ =
3
X
i,j=1
B
ij
∂
2
∂x
0
i
∂x
0
j
.
Здесь A — произвольная невырожденная постоянная матрица; B =
AA
∗
; A
∗
— транспонированная матрица A; B
ij
— элемент матрицы
B, стоящий в i-й строке и j-м столбце; вместо (x, y, z) используется
запись (x
1
, x
2
, x
3
). Доказать, что матрица AA
∗
симметрична при
любой s ×s-матрице A, но в общем случае не равна A
∗
A при s > 2.
Указание. Представить замену переменных в виде
x
0
n
=
3
X
k=1
A
nk
x
k
.
31
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- …
- следующая ›
- последняя »
