Составители:
Рубрика:
Знаки сумм можно опустить, если подразумевать суммирование от
1 до 3 по повторяющимся индексам.
Задача 3.4. Доказать, что лапласиан инвариантен относительно
ортогональных преобразований.
Задача 3.5. Доказать перестановочность оператора Лапласа и
дифференцирования по параметру или, формулируя более точно,
что для функции f(t, x, y, z), имеющей непрерывные третьи произ-
водные ∂
3
f/∂t∂x
2
, ∂
3
f/∂t∂y
2
, ∂
3
f/∂t∂z
2
, выполняется
∂
∂t
∆f = ∆
∂
∂t
f,
что записывается короче как
∂
∂t
∆ = ∆
∂
∂t
.
Ниже мы не будем явно формулировать очевидные условия глад-
кости функций.
Задача 3.6. Доказать перестановочность оператора Лапласа и ин-
тегрирования по параметру
Z
b
a
∆f(t, x, y, z) dt = ∆
Z
b
a
f(t, x, y, z) dt.
Задача 3.7. Доказать перестановочность операторов Лапласа и
дифференцирования по декартовым координатам
∂
∂x
∆ = ∆
∂
∂x
.
Задача 3.8. Пусть гармоническая функция имеет вид h(x, y, z) =
f(x, y)g(z). Доказать, что функция g удовлетворяет обыкновен-
ному дифференциальному уравнению g
00
= Ag(z) при некотором
A =const и зависит тем самым от трех параметров. Выразить явно
функцию g через z и параметры. Какие значения параметров сов-
местимы с ограниченностью функции g при всех z ∈ R?
Задача 3.9. Вычислить матрицу Якоби
J =
∂(x, y, z)
∂(R, ϕ, z)
32
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- …
- следующая ›
- последняя »
