Составители:
Рубрика:
По линейности ∆ формула (3.3) верна для потенциала (1.10) си-
стемы точек Q, если Q не совпадает ни с одной из точек Q
k
. При-
меняя оператор ∆ под знаком интеграла (2.2), убеждаемся в спра-
ведливости (3.3) для внешнего потенциала произвольного тела T .
Напомним, что векторное поле называют потенциальным, если
оно представляется градиентом некоторой скалярной функции, и
соленоидальным, если его дивергенция равна нулю. Так как ∆ =
div grad, мы приходим к следующему утверждению.
Теорема 3
Поле ускорений (2.1), индуцированное гравитацией тела T , явля-
ется потенциальным и соленоидальным вне T . Для трехмерного
тела с интегрируемой плотностью поле потенциально во всем R
3
.
Ради общности выпишем без доказательства еще уравнение
Пуассона для внутреннего потенциала протяженного трехмерного
тела
∆V = −4πG%, (3.4)
справедливое в точках, где % непрерывна и удовлетворяет условию
Липшица с любым положительным показателем (Антонов и др.,
1988). Полагая % = 0 вне тела T , распространим уравнение Пуас-
сона и на внешнюю по отношению к T часть R
3
, где (3.4) совпадает
с (3.3).
Замечание. В этой книге мы идем естественным для ньютонов-
ской физики путем. Исходным понятием служит сила гравитаци-
онного взаимодействия двух точек и соответствующий потенциал.
Далее следует обобщение на произвольное конечное множество то-
чек. Затем строится описание взаимодействия точки и протяжен-
ного тела T с помощью интеграла по T . Наконец, доказывается
справедливость уравнений Лапласа и Пуассона.
В современной физике отправной точкой часто служит не сила,
а поле. В этом случае теория строится в противоположном направ-
лении. Сначала определяется потенциальное поле, удовлетворяю-
щее в пустом пространстве уравнению Лапласа, а в заполненной
материей части пространства — уравнению Пуассона. Потенциал
ищется как решение этих уравнений при некоторых граничных
условиях. В качестве примера приведем задачу Дирихле: найти
внешний потенциал тела T как решение уравнения Лапласа, если
потенциал известен на поверхности S тела T. Теоремы о свойствах
30
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- …
- следующая ›
- последняя »
