Притяжение небесных тел. Холшевников К.В - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

используя стандартное разложение Пуассона (Фихтенгольц, 1997)
1 −z
2
1 −2zx + z
2
= 1 + 2
∞
X
n=1
T
n
(x)z
n
.
Здесь x = cos θ, T
n
(x) = cos nθ. Доказать, что ряды сходятся при
|z| < 1 и расходятся при |z| > 1.
Задача 2.31. Используя результат задачи 2.30, доказать, что при
|z| < 1
π
Z
0
ln(1 −2z cos θ + z
2
)dθ =
2π
Z
0
ln(1 −2z cos θ + z
2
)dθ = 0.
Задача 2.32. Дано тело T цилиндрической структуры, т. е. беско-
нечный цилиндр R 6 a с зависящей лишь от R объемной плотно-
стью %. Здесь R, ϕ, z — цилиндрические координаты. Найти его
внешний потенциал и градиент.
Указание. Интеграл (2.5) записать в полярных координатах,
считая Q = Q(R, 0, 0). Воспользоваться результатом задачи 2.31.
Ответ: при R > a
V (R) = −GM ln
R
2
R
2
0
,
∂V (R)
∂R
= −
2GM
R
,
где M — масса цилиндра единичной высоты, вырезанного из T
плоскостями z = 0, z = 1. Таким образом, внешний потенциал T
совпадает с потенциалом оси цилиндра, если в ней сосредоточить
всю его массу — см. формулу (2.4).
Задача 2.33. Найти внутренний потенциал и градиент тела задачи
2.32.
Ответ: при 0 < R 6 a
V (R) =−GM(R) ln
R
2
R
2
0
−2πG
a
Z
R
%(R
0
)R
0
ln
R
0
2
R
2
0
dR
0
,
∂V (R)
∂R
=−
2GM(R)
R
,
где M(R) = 2π
R
R
0
%(R
0
)R
0
dR
0
— масса цилиндра радиусом R единич-
ной высоты, вырезанного из T плоскостями z = 0, z = 1. Таким
образом, цилиндрическая оболочка (часть вне цилиндра радиусом
R) не притягивает точку Q.

Страницы