Притяжение небесных тел. Холшевников К.В - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Задача 3.14. Доказать формулу
∆
R
∂
∂R
=
2 + R
∂
∂R
∆ − 2
∂
2
∂z
2
.
Указание. Воспользоваться задачей 3.13 для действия левой и
правой части на произвольную функцию.
Задача 3.15. Доказать формулу
∆
∂
∂R
=
2
R
+
∂
∂R
∆ −
2
R
∂
2
∂R
2
−
1
R
2
∂
∂R
−
2
R
∂
2
∂z
2
.
Задача 3.16. Доказать формулу
∆
∂
∂ϕ
=
∂
∂ϕ
∆ .
Задача 3.17. Вычислить матрицу Якоби
J =
∂(x, y, z)
∂(r, θ, λ)
перехода от декартовых координат к сферическим
x = r sin θ cos λ, y = r sin θ sin λ, z = r cos θ.
Ответ:
J =
sin θ cos λ r cos θ cos λ −r sin θ sin λ
sin θ sin λ r cos θ sin λ r sin θ cos λ
cos θ −r sin θ 0
.
Задача 3.18. Вычислить якобиан перехода от декартовых коорди-
нат к сферическим.
Ответ: det J = r
2
sin θ.
Задача 3.19. Убедиться, что матрица обратного перехода от сфе-
рических координат к декартовым равна
∂(r, θ, λ)
∂(x, y, z)
= J
−1
=
sin θ cos λ sin θ sin λ cos θ
cos θ cos λ/r cos θ sin λ/r −sin θ/r
−sin λ/(r sin θ) cos λ/(r sin θ) 0
.
34

Страницы