Притяжение небесных тел. Холшевников К.В - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

перехода от декартовых координат к цилиндрическим
x = R cos ϕ, y = R sin ϕ, z = z.
Ответ:
J =
cos ϕ −R sin ϕ 0
sin ϕ R cos ϕ 0
0 0 1
.
Задача 3.10. Вычислить якобиан перехода от декартовых коорди-
нат к цилиндрическим.
Ответ: det J = R.
Задача 3.11. Убедиться, что матрица обратного перехода от ци-
линдрических координат к декартовым равна
∂(R, ϕ, z)
∂(x, y, z)
= J
−1
=
cos ϕ sin ϕ 0
−sin ϕ/R cos ϕ/R 0
0 0 1
.
Задача 3.12. Используя результат предыдущей задачи, показать,
что
∂
2
∂x
2
= cos
2
ϕ
∂
2
∂R
2
− 2 cos ϕ sin ϕ/R
∂
2
∂R∂ϕ
+ sin
2
ϕ/R
2
∂
2
∂ϕ
2
+ sin
2
ϕ/R
∂
∂R
+ 2 cos ϕ sin ϕ/R
2
∂
∂ϕ
,
∂
2
∂y
2
= sin
2
ϕ
∂
2
∂R
2
+ 2 cos ϕ sin ϕ/R
∂
2
∂R∂ϕ
+ cos
2
ϕ/R
2
∂
2
∂ϕ
2
+ cos
2
ϕ/R
∂
∂R
−2 cos ϕ sin ϕ/R
2
∂
∂ϕ
,
∂
2
∂z
2
=
∂
2
∂z
2
.
Задача 3.13. Вывести выражение для оператора Лапласа в ци-
линдрических координатах
∆ =
∂
2
∂R
2
+
1
R
2
∂
2
∂ϕ
2
+
1
R
∂
∂R
+
∂
2
∂z
2
=
1
R
∂
∂R
R
∂
∂R
+
1
R
2
∂
2
∂ϕ
2
+
∂
2
∂z
2
.
33

Страницы