Притяжение небесных тел. Холшевников К.В - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

где сферическая часть лапласиана (оператор Бельтр´ами) равна
∆
∗
=
1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂
∂θ
+
1
sin
2
θ
∂
2
∂λ
2
= ctg θ
∂
∂θ
+
∂
2
∂θ
2
+
1
sin
2
θ
∂
2
∂λ
2
.
Задача 3.22. Преобразовать оператор Бельтрами к переменным
(ξ, λ) = (cos θ, λ).
Ответ:
∆
∗
=
∂
∂ξ
(1 −ξ
2
)
∂
∂ξ
+
1
1 −ξ
2
∂
2
∂λ
2
= (1−ξ
2
)
∂
2
∂ξ
2
−2ξ
∂
∂ξ
+
1
1 −ξ
2
∂
2
∂λ
2
.
Задача 3.23. Доказать формулу
∆
r
∂
∂r
=
2 + r
∂
∂r
∆.
Указание. Воспользоваться задачей 3.21 для действия левой и
правой части на произвольную функцию.
Задача 3.24. Доказать формулу
∆
∂
∂r
=
2
r
+
∂
∂r
∆ −
2
r
2
∂
∂r
−
2
r
∂
2
∂r
2
.
Задача 3.25. Доказать формулу
r
2
∆
sin
α
θ
∂
∂θ
= r
2
sin
α
θ
∂
∂θ
∆ +
(α
2
+ 1) sin
α−2
θ −α(α + 1) sin
α
θ
∂
∂θ
+
2α sin
α−1
θ cos θ
∂
2
∂θ
2
+ 2 sin
α−3
θ cos θ
∂
2
∂λ
2
.
Задача 3.26. Доказать формулу
r
2
∆
sin θ
∂
∂θ
= r
2
sin θ
∂
∂θ
∆ + 2 cos θ∆
∗
.
Задача 3.27. Доказать формулу
∆
∂
∂λ
=
∂
∂λ
∆.

Страницы