Составители:
Рубрика:
Ответ:
V =
GM
b −a
ln
4(b −z)(z −a)
x
2
+ y
2
+ O(x
2
+ y
2
).
Остаточный член — регулярная функция от x
2
+ y
2
.
Задача 2.4. Найти асимптотику потенциала задачи 2.1 при малых
x, y, z −b.
Ответ:
V =
GM
b −a
ln
2(b −a)
s + ζ
+ O(ζ, s
2
),
где ζ = z − b, s =
p
x
2
+ y
2
+ ζ
2
. Остаточный член — регулярная
функция от ζ, s
2
.
Задача 2.5. Доказать равенства
2
Z
p
t
2
+ A
2
dt = t
p
t
2
+ A
2
+ A
2
ln
t +
p
t
2
+ A
2
,
Z
ln
A +
p
t
2
+B
2
dt = t ln
A +
p
t
2
+B
2
+ A ln
t +
p
t
2
+B
2
−
−t −
p
B
2
−A
2
arcsin
B
2
+ A
√
t
2
+ B
2
B(A +
√
t
2
+B
2
)
при B > |A|.
Задача 2.6. Доказать, что
Z
h(t) t dt =
1
3
h
3
+
a cos θ
2
[(t −a cos θ)h + a
2
sin
2
θ ln(t −a cos θ + h)],
где h(t) =
√
t
2
−2at cos θ + a
2
. Проверить, что второе слагаемое в
квадратных скобках стремится к нулю при a sin θ → 0.
Задача 2.7. Дан однородный прямоугольник массой M, располо-
женный в плоскости x, y между прямыми x = a
i
и y = b
k
, i, k = 1, 2,
a
1
< a
2
, b
1
< b
2
. Найти его потенциал.
Указание. Согласно результату задачи 2.1 потенциал парал-
лельного оси x прямоугольника длиной a
2
−a
1
и толщиной dy
0
есть
dV = G%dy
0
2
X
i=1
(−1)
i
ln
h
a
i
−x +
p
(a
i
−x)
2
+ (y
0
−y)
2
+ z
2
i
.
21
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- …
- следующая ›
- последняя »
