Составители:
Рубрика:
куска T плоскости хорошо аппроксимируется однородным полем,
если расстояние от точки Q до T много меньше размеров T .
Согласно решению задачи 2.19 притяжение однородного диска
радиусом R, лежащего в плоскости x, y и имеющего центр в
начале координат, на положительной части оси z может быть
представлено сходящимися при z < R рядами
V (z) = 2πG%
R −z +
z
2
2R
+ ···
,
∂V (z)
∂z
= 2πG%
−1 +
z
R
+ ···
.
При z R поле практически однородно. Вспомните почти одно-
родное электростатическое поле, создаваемое пластинами конден-
сатора. Возможность создания конденсатора сравнительно неболь-
ших размеров (сантиметры), создающего тем не менее ощутимое
электростатическое поле, объясняется тем, что кулоновское вза-
имодействие на много порядков мощнее гравитационного. Элек-
тростатическое поле конденсатора может быть даже опасным для
жизни, тогда как его гравитационное поле неуловимо современ-
ными точнейшими приборами.
Замечание 2. В “земной” технической механике гравитационное
поле Земли почти всегда считают однородным. Оценим соответ-
ствующую погрешность. Считая Землю шаром, сравним гравита-
ционное ускорение в Северном полюсе (0, 0, R) и близкой внешней
точке (x, y, R + z). Согласно задаче 2.13 с точностью до первого
порядка малости
grad V (x, y, R + z) −grad V (0, 0, R)
|grad V (0, 0, R)|
=
−
x
R
, −
y
R
,
2z
R
.
При подъеме на километр от земной поверхности вектор ускоре-
ния свободного падения изменится на 0.03%, при горизонтальном
перемещении на километр — вдвое меньше. Шар симметричен, и
любую его точку можно выбрать за полюс.
Из выражения (2.7) стандартным путем выводится потенциал
бесконечного слоя, расположенного между плоскостями z = a и
z = b, с зависящей лишь от z объемной плотностью %(z):
V (z) = −2πG
Z
b
a
%(z
0
)|z − z
0
|dz
0
, (2.8)
а из (2.6) — ускорение
w
z
= 2πG
Z
b
a
%(z
0
) sign(z
0
−z)dz
0
. (2.9)
19
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
