Составители:
Рубрика:
получаем тройной ряд линейных комбинаций базовых функций
f
ijk
(x, y, z)
V (x, y, z) =
X
i,j,k
A
ijk
f
ijk
(x, y, z) (4.2)
с постоянными для данного тела T коэффициентами A
ijk
.
Из аналитичности функции V вытекает, что в некоторой окрест-
ности любой внешней точки (a, b, c) потенциал можно представить
рядом (4.2) при
f
ijk
(x, y, z) = (x −a)
i
(y −b)
j
(z −c)
k
.
Однако такое представление (и ему подобные) обладает существен-
ными недостатками.
• Кратность ряда (4.2) равна трем, тогда как уравнение Ла-
пласа (3.3) показывает, что функция V практически зависит
от двух переменных. Например, если V = V
1
(x, y)V
2
(z), то
согласно задаче 3.8 функция V
2
определяется с точностью до
трех произвольных постоянных.
• Хотя сумма (4.2) гармонична, отдельные ее слагаемые этим
свойством не обладают (за исключением первых четырех од-
ночленов нулевой и первой степени).
Эти недостатки устраняются, если за базовую принять систему
гармонических функций, ортогональных на некоторой замкнутой
поверхности S. Кратность ряда снижается до двух, гарантиру-
ется гармоничность каждого слагаемого. В астрономии и грави-
метрии за S принимают одну из трех поверхностей: сферу, эллип-
соид вращения (два варианта — сжатый и вытянутый), трехосный
эллипсоид. Соответствующие системы носят название сфериче-
ских функций, сфероидальных функций, функций Лам´е. Кажется
очевидным, что сферические функции являются частным случаем
сфероидальных, а последние — частным случаем функций Ламе.
Это не совсем так. При последовательном обращении эксцентри-
ситетов главных сечений в нуль мы встречаемся с вырождениями,
требующими предельных переходов. Так что лучше говорить о пре-
дельных, нежели о частных случаях.
Сферические функции существенно проще сфероидальных, а
последние — функций Ламе. Это значительно перекрывает вы-
игрыш от большей близости поверхностей массивных небесных тел
39
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- …
- следующая ›
- последняя »
