Притяжение небесных тел. Холшевников К.В - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

k на k − 2. С точностью до обозначений индексов получится по-
следнее из соотношений задачи 5.4.
Задача 5.7. Вывести аналоги формулы (5.22), полагая нижний
предел интеграла равным 0 и 1.
Задача 5.8. Вычислить интеграл
I
n
=
Z
1
−1
(1 −x
2
)
n
dx, n > 0.
Указание. Интегрируя по частям, вывести рекуррентность.
Можно также воспользоваться теорией бета-функций Эйлера.
Ответ:
I
n
= 2
(2n)!!
(2n + 1)!!
.
Задача 5.9. Дифференцируя (5.27), вывести уравнение для k-й
производной полинома Лежандра y = P
(k)
n
(x).
Ответ:
(1 −x
2
)y
00
−2(k + 1)xy
0
+ [n(n + 1) −k(k + 1)]y = 0,
или, что то же,
d
dx
(1 − x
2
)y
0
−2kxy
0
+ [n(n + 1) −k(k + 1)]y = 0.
Задача 5.10. Показать, что
d
dx
h
(1 − x
2
)
k
P
(k)
n
(x)
i
+ [n(n + 1) −k(k−1)](1 −x
2
)
k−1
P
(k−1)
n
(x) = 0.
Задача 5.11. Вывести рекуррентности
P
k+2
n
=
2(k + 1)x
ξ
P
k+1
n
−(n − k)(n + k + 1)P
k
n
,
(2n + 1)xP
k
n
= (n − k + 1)P
k
n+1
+ (n + k)P
k
n−1
,
P
k
n+1
−P
k
n−1
= (2n + 1)ξP
k−1
n
,
67

Страницы