Составители:
Рубрика:
Здесь
P
∗
n
(x) =
Z
x
−1
P
n
(t) dt .
Ряды сходятся абсолютно и равномерно в замкнутом круге |z| 6 1.
Задача 5.15. Доказать, что при −1 6 x 6 1 в круге |z| < 1
ln
z − x +
√
1 − 2zx + z
2
1 − x
=
∞
X
n=0
P
n
(x)
z
n+1
n + 1
.
При x = 1 левую часть следует заменить ее предельным при x → 1
значением
ln
1
1 − z
.
Чему равна левая часть при x = −1 ?
Задача 5.16. Найти значение P
(m)
n
в ключевых точках 0, ±1.
Ответ:
P
(m)
n
(1) =
(n + m)!
2
m
m!(n − m)!
, P
(m)
n
(−1) = (−1)
n−m
(n + m)!
2
m
m!(n − m)!
,
P
(m)
n
(0) =
(
0, если n − m нечетно,
(−1)
k
(n + m − 1)!!/(2
k
k!), если n − m = 2k.
Задача 5.17. Представить P
n
(cos θ) в виде многочлена Фурье.
Указание. В формуле (5.56) положить λ
0
= 0, θ = θ
0
= π/2 и
воспользоваться результатом задачи 5.16.
Ответ:
P
n
(cos θ) =
bn/2c
X
m=0
g
nm
cos(n − 2m)θ ,
g
nm
= 2
(2m − 1)!!(2n −2m − 1)!!
(2m)!!(2n − 2m)!!
, если 2m < n,
g
n,n/2
=
(n − 1)!!
n!!
2
(n четно).
69
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- …
- следующая ›
- последняя »
