Притяжение небесных тел. Холшевников К.В - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Задача 5.18. Пусть z(x) = (1 −x
2
)
k/2
y(x). Вывести формулу
(1 − x
2
)z
00
−2xz
0
+
n(n + 1) −
k
2
1 − x
2
z =
(1 − x
2
)
k/2
{(1 − x
2
)y
00
−2(k + 1)xy
0
+ [n(n + 1) −k(k + 1)]y}.
Задача 5.19. Найти присоединенные функции Лежандра для
n = 1, 2.
Указание. Использовать (5.40) и решение задачи 5.1.
Ответ: P
0
1
= cos θ, P
1
1
= sin θ, P
0
2
=
3
2
cos
2
θ −
1
2
,
P
1
2
= 3 cos θ sin θ, P
2
2
= 3 sin
2
θ.
Задача 5.20. Показать, что при n = 1 формула (5.56) переходит в
(5.53).
Задача 5.21. Показать, что присоединенные функции Лежандра
P
k
n
(x) четны при четном n −k и нечетны при нечетном n − k.
Задача 5.22. Показать, что P
k
n
(x) в интервале (−1, 1) имеет ровно
n − k корней, симметрично расположенных относительно начала
координат. Какие еще корни имеет P
k
n
(x)?
Задача 5.23. Используя неравенство Буняковского и равенство
(5.35), доказать оценку
Z
1
−1
|P
n
(x)|dx <
2
√
2n + 1
, n > 1.
При n = 0 следует поставить знак равенства.
Задача 5.24. Показать, что все числа ˜p
nk
в формуле (5.72)
нечетны, если n есть степень двойки без единицы.

Страницы