Притяжение небесных тел. Холшевников К.В - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

(n + k)(n + k + 1)P
k
n−1
−(n − k)(n − k + 1)P
k
n+1
= (2n + 1)ξP
k+1
n
,
xP
k
n
= P
k
n−1
+ (n−k+1)ξP
k−1
n
= P
k
n+1
−(n+k)ξP
k−1
n
,
(n −k)xP
k
n
= (n + k)P
k
n−1
−ξP
k+1
n
,
(n + k + 1)xP
k
n
= (n − k + 1)P
k
n+1
+ ξP
k+1
n
,
ξ
2
d
dx
P
k
n
= (n + 1)xP
k
n
−(n −k + 1)P
k
n+1
= −nxP
k
n
+ (n + k)P
k
n−1
,
где ξ =
√
1 −x
2
.
Указание. Часть этих формул уже доказана. С остальными
уже нетрудно справиться.
Задача 5.12. Найти производящую функцию для производных
порядка m многочленов Лежандра.
Указание. Использовать формулы (5.3) или (5.18).
Ответ:
(2m − 1)!!z
m
(1 −2zx + z
2
)
1/2+m
=
∞
X
n=m
P
(m)
n
(x)z
n
.
Задача 5.13. Показать, что в основном промежутке [−1, 1] мно-
гочлены Лежандра и все их производные принимают наибольшее
значение при x = 1.
Указание. Представить 1 − 2zx + z
2
в виде (1 − e
iθ
z)(1 −
e
−iθ
z) и доказать, что коэффициенты производящей функции за-
дачи (5.12) — многочлены с положительными коэффициентами от
e
iθ
, e
−iθ
.
Задача 5.14. Используя формулы (5.3), найти производящую
функцию для интегралов от многочленов Лежандра.
Ответ:
1 + z −
√
1 −2zx + z
2
z
=
∞
X
n=0
P
∗
n
(x)z
n
,
что можно представить также в форме
p
1 −2zx + z
2
= 1 − xz −
∞
X
n=1
P
∗
n
(x)z
n+1
.
68

Страницы