Составители:
Рубрика:
Совершим замену переменных интегрирования r
0
= gr
00
. По ортого-
нальности g элемент объема сохранится: dτ
0
= dτ
00
. По симметрии
тела gT = T, %(gr
00
) = %(r
00
). Поэтому
V (gr) = G
Z
T
%(r
00
) dτ
00
|gr −gr
00
|
.
Преобразование g сохраняет расстояния: |gr −gr
00
| = |r −r
00
|, и мы
получаем требуемое:
V (gr) = V (r).
Всякая же симметрия потенциала влечет ограничение на посто-
янные Стокса. Покажем это на примере важнейших симметрий.
Центр масс считаем совпадающим с началом координат.
1. Зеркальная симметрия север–юг.
Пусть северное и южное полушария зеркально симметричны. В
сферических координатах это означает
%(r
0
, π − θ
0
, λ
0
) = %(r
0
, θ
0
, λ
0
). (6.11)
По доказанному такой же симметрией обладает и потенциал
V (r, π − θ, λ) = V (r, θ, λ). (6.12)
В ряде (5.76) отличными от нуля могут быть лишь слагаемые, со-
храняющие эту симметрию, т. е. согласно задаче 5.21 слагаемые,
для которых разность n −k четна.
Итак, отличными от нуля могут быть лишь коэффициенты
A
nk
, B
nk
с четным n − k. При нечетном n −k имеем
A
nk
= B
nk
= 0.
2. Зеркальная симметрия восток–запад.
Пусть зеркально симметричны восточное и западное полуша-
рия:
%(r
0
, θ
0
, −λ
0
) = %(r
0
, θ
0
, λ
0
), V (r, θ, −λ) = V (r, θ, λ). (6.13)
Очевидно, все B
nk
= 0.
3. Зеркальная симметрия относительно плоскости ме-
ридиана λ = 90
o
.
76
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- …
- следующая ›
- последняя »
