Притяжение небесных тел. Холшевников К.В - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

6.4 Примеры точного определения
гармонических коэффициентов
для тел вращения
Потенциал тел вращения содержит лишь зональные гармоники.
Международный Астрономический Союз рекомендует обозначать
A
n0
= −J
n
. Ряд (5.76) принимает форму
V (Q) = −
GM
R
∞
X
n=0
J
n
R
r
n+1
P
n
(cos θ), r > R
+
, (6.20)
причем J
0
= −1, а если начало совмещено с центром масс, то J
1
= 0.
Для простых тел разработан прием вычисления J
n
, часто веду-
щий к цели. Рассмотрим точку Q
0
на положительной части оси z
вне объемлющей сферы: в сферических координатах Q
0
= (0, 0, r),
r > R
+
. Полагая в (6.20) P
n
(cos 0) = P
n
(1) = 1, получаем
V (Q
0
) = −
GM
R
∞
X
n=0
J
n
R
r
n+1
. (6.21)
По теореме единственности ряда Маклорена по степеням R/r ко-
эффициенты J
n
однозначно определяются функцией
V
0
(r)
def
= V (Q
0
).
Поэтому достаточно найти потенциал лишь на оси z при z = r >
R
+
, разложить его в ряд (6.21) и получить J
n
. Иными словами,
функция V
0
(r) будет производящей для J
n
.
1. Точка.
Пусть точка Q
1
массой M имеет прямоугольные координаты
(0, 0, c). Ее потенциал на оси z, z = r > |c| равен
V (Q
0
) =
GM
r −c
=
GM
r(1 −c/r)
=
GM
R
∞
X
n=0
c
n
R
n
R
r
n+1
, (6.22)
откуда
J
n
= −
c
R
n
.
Радиус объемлющей сферы равен c. Ниже мы, как правило, не бу-
дем вводить лишних параметров, считая R радиусом объемлющей
сферы.
79

Страницы