Притяжение небесных тел. Холшевников К.В - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

так что
J
0
= −1, J
2n
= 0 (n > 1), J
2n+1
= 3(−1)
n+1
(2n −1)!!
(2n + 4)!!
. (6.23)
5. Однородное тело вращения, задаваемое в сфериче-
ских координатах неравенствами
r
1
6 r 6 r
2
, β
1
6 θ 6 β
2
при 0 6 r
1
< r
2
, 0 6 β
1
< β
2
6 π.
Потенциал тела на оси z выражен в элементарных функциях в
задаче 2.25. Но для наших целей предпочтительнее полученное там
же промежуточное интегральное представление, которое можно за-
писать в виде
V (Q
0
) = 2πG%
2
X
k=1
(−1)
k
r
2
Z
r
1
V
k
(ξ) dξ, (6.24)
где
V
k
(ξ) =
ξ(1 − 2ξx
k
/r + ξ
2
/r
2
)
p
1 − 2ξx
k
/r + ξ
2
/r
2
, x
k
= cos β
k
.
Как видим, для представления V
k
рядом по степеням 1/r доста-
точно воспользоваться стандартным разложением (5.3):
V
k
=
∞
X
n=−1
V
kn
(ξ)
r
n+1
, (6.25)
где
V
kn
= ξ
n+2
[P
n+1
(x
k
) −2x
k
P
n
(x
k
) + P
n−1
(x
k
)]
и принято P
−1
= P
−2
= 0. Величина V
k,−1
= ξ не зависит от k и
пропадает при суммировании согласно формуле (6.24). Считаем в
разложении (6.25) n > 0. С помощью равенства (5.12) получаем
V
kn
=
ξ
n+2
n + 1
[−x
k
P
n
(x
k
) + P
n−1
(x
k
)],
откуда
r
2
Z
r
1
V
kn
(ξ) dξ =
r
n+3
2
−r
n+3
1
(n + 1)(n + 3)
[−x
k
P
n
(x
k
) + P
n−1
(x
k
)],
81

Страницы